Search
Close this search box.

Группы: изучение алгебраических структур, называемых группами, и их свойств, таких как подгруппы, нормальные подгруппы и факторгруппы

Группы: изучение алгебраических структур, называемых группами, и их свойств, таких как подгруппы, нормальные подгруппы и факторгруппы
Группы: изучение алгебраических структур, называемых группами, и их свойств, таких как подгруппы, нормальные подгруппы и факторгруппы
Содержание

Группы являются одной из важнейших алгебраических структур и изучаются в различных областях математики, физики, химии и других наук. Группы представляют собой множество элементов, снабженное операцией, которая удовлетворяет определенным свойствам. В этой статье мы рассмотрим основные свойства групп и их подструктур, таких как подгруппы, нормальные подгруппы и факторгруппы.

Определение группы

Группа G — это множество элементов, снабженное бинарной операцией *, которая удовлетворяет следующим условиям:

  1. Закон комбинации: для любых элементов a, b, c ∈ G, выполняется (a * b) * c = a * (b * c).
  2. Существование единичного элемента: существует элемент e ∈ G, такой что для любого элемента a ∈ G, выполняется a * e = e * a = a.
  3. Существование обратного элемента: для каждого элемента a ∈ G существует обратный элемент a^-1 ∈ G, такой что a * a^-1 = a^-1 * a = e.

Свойства группы

Группа имеет несколько свойств, которые следуют из ее определения:

  1. Единичный элемент единственный: в группе существует только один единичный элемент.
  2. Обратный элемент единственный: для каждого элемента a в группе существует только один обратный элемент a^-1.
  3. Коммутативность (абелевость): если для любых элементов a, b ∈ G, выполняется a * b = b * a, то группа называется коммутативной (абелевой).

Подгруппы

Подгруппа H группы G — это подмножество H ⊆ G, которое само является группой относительно операции *, заданной на G. То есть H должно удовлетворять трем условиям:

  1. H замкнуто относительно операции *: для любых элементов h1, h2 ∈ H, выполняется h1 * h2 ∈ H.
  2. H содержит единичный элемент e: e ∈ H.
  3. H содержит обратный элемент для каждого своего элемента: для каждого h ∈ H, существует h^-1 ∈ H, такой что h * h^-1 = h^-1 * h = e.

Нормальные подгруппы

Нормальная подгруппа N группы G — это подгруппа N ⊆ G, для которой выполняется условие:

Для любого элемента g ∈ G и каждого элемента n ∈ N, выполняется gn и ng принадлежат к N. В других словах, N является инвариантной относительно левых и правых смежных классов в G. Это означает, что если мы возьмем произвольный элемент g из G и умножим его на любой элемент n из N, то результат должен принадлежать к N, независимо от порядка умножения.

Нормальная подгруппа играет важную роль в теории групп и имеет несколько эквивалентных определений. Нормальная подгруппа является примером подгруппы, для которой инвариантность относительно левых и правых смежных классов является необходимым и достаточным условием.

Факторгруппы

Факторгруппа G/N — это множество всех левых смежных классов по N в G, снабженное операцией, называемой умножением смежных классов. Формально, умножение двух смежных классов aN и bN определяется как (aN)*(bN) = (ab)N.

Эта операция корректна, потому что она не зависит от выбора представителя в каждом классе. Другими словами, если мы возьмем другого представителя aN, который отличается от первого только на элемент из N, результат умножения aN * bN останется тем же самым.

Факторгруппа имеет несколько свойств, в том числе:

  1. Факторгруппа G/N является группой, если N является нормальной подгруппой G.
  2. Если G — коммутативная (абелева) группа, то факторгруппа G/N также коммутативна.
  3. Если G имеет конечный порядок, то порядок факторгруппы G/N равен отношению порядка G к порядку N.

Примеры групп

Существует множество примеров групп, включая:

  1. Группа целых чисел с операцией сложения.
  2. Группа обратимых матриц над полем (например, действительными числами или комплексными числами) с операцией умножения.
  3. Группа перестановок, то есть биективных отображений множества на себя, с операцией композиции.
  4. Группа симметрий регулярного n-угольника, которая содержит n элементов.

Заключение

Группы представляют собой важную область алгебры, которая имеет множество приложений в различных областях математики и физики. Изучение групп позволяет формулировать и решать сложные алгебраические задачи, а также анализировать симметрии объектов и процессов.

В этой статье мы рассмотрели основные определения и свойства групп, такие как ассоциативность, нейтральный элемент, обратный элемент, подгруппы, нормальные подгруппы и факторгруппы. Мы также рассмотрели несколько примеров групп, включая группу целых чисел с операцией сложения, группу обратимых матриц над полем и группу перестановок.

Изучение групп является важной частью абстрактной алгебры и может служить основой для дальнейшего изучения других областей математики и физики, таких как теория чисел, алгебраическая геометрия и квантовая механика.

Поделиться

Поделиться
Telegram
WhatsApp
Email

Новые публикации

Написать письмо

Напишите ваш вопрос. Ответим в самое ближайшее время

Нажимая на кнопку «Отправить», Вы даете согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь c политикой конфиденциальности.